Übungstest Bsp. 3

Ich teile die Frage auf:

1. Bestimmen Sie für eine harmonische Schwingung einer Masse von 400g mit einer Amplitude von 20mm und einer Frequenz von 20Hz die vollständigen Formeln für die Elongation (sinusförmigen Verlauf annehmen!), die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die auf die Masse wirkende Kraft.

Zuerst müssen wir alle Einheiten so umwandeln, dass wir sie in die Formeln einsetzen können:

Massen m = 400g = 0,4kg

Amplitude yo = 20mm = 0,02m

Frequenz f = 20Hz (passt)

Da es nicht in der Angabe steht, nehmen wir an, dass φ gleich Null ist, also wegfällt

Für die Formeln brauchen wir noch die Winkelgeschwindigkeit. Wir erinnern uns: ω = 2 π *f also 2 π * 20Hz = 40π rad/s

Du schaust jetzt hin und denkst dir: Hm...aber der Zeitpunkt t fehlt noch für die vollständige Formel! Das ist richtig, aber t können wir nicht aus den anderen Größen herausrechnen. Es hat aber durchaus einen Sinn, t nicht anzugeben sondern als Variable in den Formeln zu belassen: Auf diese Weise hat man für eine bestimmte Schwingung schon super Formeln und braucht nur noch den Zeitpunkt, für den man die momentane Auslenkung, Geschwindigkeit oder Beschleunigung wissen will, einzusetzen.

Also bleibt t wie es ist und wir setzen alles andere in die Formeln ein:

Elongation:

y = y0 * sin (ω t + φ)

y = 0,02 m * sin (40π rad/s * t)

Geschwindigkeit:

v = yo *ω *cos ( ω t +φ)

v = 0,02m * 40π rad/s * cos (40π rad/s * t)

Beschleunigung:

a = y0 * ω^2 * (-sin (ω t + φ) )

a = 0,02m * (40π rad/s)^2 * (-sin ( 40π rad/s * t)

Gefragt ist auch die Kraft, die auf die Masse wirkt. Das Problem bei dieser Frage ist, dass man die Kraft unterschiedlich berechnet, je nachdem ob es ein Feder- oder Fadenpendel ist. Nachdem die Angabe da nicht viel weiterhilft arbeite ich noch an einer zufriedenstellenden Antwort.

2. Wie viele Winkelgrade und wie viel Radiant betragen Phase und Elongation nach 0,5 s?

Da haben wir so einen Fall, wo es super ist, dass wir nur noch das t in die Formel einsetzen müssen:

Zunächst verwenden wir die ganz normale Formel für die Elongation:

y = y0 * sin (ω t + φ) --> φ haben wir bekanntlich keines

y = 0,02 m * sin (40π rad/s * 0,5s)

Jetzt wird es spannend: Um Phase und Elongation in Radiant bzw. Grad angeben zu können, benötigen wir nur den hinteren Teil der Formel:

sin (40π rad/s * 0,5s) = 0,89 rad

Um Radiant in Grad umzurechnen multipliziert man mit dem Umrechnungsfaktor (180 / π).

Von Grad auf Radiant dividiert man durch (180 / π)

Also 0,89 rad * (180 / π) = 51°

Phase und Elongation betragen also nach 0,5s 0,89 rad oder 51°

3. Welche Phasenverschiebung müsste die Schwingung haben, damit sie nach 0,01s maximale (alternativ: Null) Auslenkung hat? Wie würden die Formeln für die Elongation/ Geschwindigkeit/ Beschleunigung in diesem Fall aussehen?

Ich habe bis jetzt noch nirgends einen Rechenansatz für diese Fragestellung gefunden, aber ich suche weiter!